Алгебра 11 класс
Производной функции f(x) в точке x₀ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Производная показывает скорость изменения функции.
Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику. Физический смысл: производная пути по времени — это скорость.
Таблица производных:
- (C)′ = 0;
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹;
- (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x;
- (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ·ln a;
- (ln x)′ = 1/x.
Правила дифференцирования: (u + v)′ = u′ + v′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Пример. (x³)′ = 3x²; (2x² + 5x)′ = 4x + 5.
Пример. Найти производную f(x) = x³ − 2x: f′(x) = 3x² − 2. Угловой коэффициент касательной к графику y = x² в точке x = 3 равен y′(3) = 2·3 = 6.